介于听说去年新高考一卷数学难度很高，今年全国高考结束后，笔者便想着做一做新高考一卷的数学，顺便锻炼一下LaTeX的写作能力（主要还是没事干，ddl都延期了）
以下是后四道大题的题目与题解：
T19
已知函数 $f ( x )= a ( e^{x} + a )- x$.
(1）讨论 $f ( x )$的单调性；
对于$f(x)$求导，有：
$f^{’}(x)=ae^x+1$
显然，$a≤0$时，$f(x)$单调递减
$a＞0$时，在（$-∞$,$-Ina$）上$f(x)$单调递减，在（$-Ina$,$+∞$）上$f(x)$单调递增。
(2）证明：当 $a >0$时， $f ( x )>2Ina+1$.
显然，只需要考虑$f(-Ina)>2Ina+1$即可
代入之后即证：$a^2>Ina+\frac{1}{2} $
由$a>Ina+1$易证成立
T20
设等差数列{${a_{n}}$ }的公差为d,且 d >1．令$b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记$S_n$，$T_n$分别为数列{$a_n$}，{$b_n$}的前n项和。
(1）若$3a_2=3a_1,+a_3$,$S_3+T_3=21$，求｛$a_n$｝的通项公式；
易知，$a_1=d$，代入即可得到：
$a_n=3n$
(2）若 $bn$ 为等差数列,且 $S{99}-T_{99}=99$ ，求d
$b_n=\frac{n^2+n}{a_n}=\frac{n(n+1)}{a_n}$
设$a_n=(n-1)d+a_1=d(n-1+\frac{a_1}{d})$
显然，如果$b_n$为等差数列的话，必须满足：
$n-1+\frac{a_1}{d}=n$或$n-1+\frac{a_1}{d}=n+1$
这样我们便可以得到：
$a_1=d$ 或$a_1=2d$
代入给的求和式子，又$d>1$，因此得到$d=\frac{51}{50}$
T21
甲乙两人投球，甲投进概率为0.6，乙为0.8，第一次是谁投的概率都为0.5，投进了，继续投，没投进换人
(1）问第二次是甲投球的概率；
(2）第$i$次甲投球的概率是 $P_i $，求 $P_i$ ;
比较正常的概率递推，和21年一样
(3）随机事件 $Y$ 为甲投球的次数， $Y =1,2,…n$，求$E(y)$
设$X$为事件甲投球，$X=1$表示甲投中，$X=0$表示甲未投中，很显然，$Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$
由基础的概率论知识不难得到：
T22
在直角坐标系$XOY$中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点（0，$\frac{1}{2}$）的距离，记动点 P 的轨迹为 W .
(1）求 W 的方程；
$y=x^2+\frac{1}{4}$
(2）已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于$3\sqrt{3}$.
得到相应的坐标，记作（$x_2,y_2$），
同理，由两条直线垂直可得，另一条直线与抛物线联立可以得到（$x_3,y_3$）.
由两点之间坐标公式可以得到，要证的表达式即为：
$\sqrt{(x_3-x_1)^2+(x_3^2-x_1^2)^2}+\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_2^2-x_1^2)^2}>\frac{3}{2}\sqrt{3}$
化简，得到：
由于我们知道，$k$要么在（$-1$，$1$）之间，要么在此之外，不妨我们就取$k$在（$-1$，$1$），这样，对于上面的式子进一步化简为：
分析绝对值，显然可以得出
对于函数：
求导计算可以得出，
$f(k)_{min}>\frac{3}{2}\sqrt{3}$
得证。