2023年新高考一卷数学

介于听说去年新高考一卷数学难度很高，今年全国高考结束后，笔者便想着做一做新高考一卷的数学，顺便锻炼一下LaTeX的写作能力（主要还是没事干，ddl都延期了）

以下是后四道大题的题目与题解：

T19

已知函数 $f(x)=a(e^x+a)-x$.

(1）讨论 $f(x)$的单调性；

对于$f(x)$求导，有：

$f^{{}^{\prime }}(x)=a{e}^x+1$

显然，$a\le 0$时，$f(x)$单调递减

$a＞0$时，在（$-\infty$,$-Ina$）上$f(x)$单调递减，在（$-Ina$,$+\infty$）上$f(x)$单调递增。

(2）证明：当 $a>0$时， $f(x)>2Ina+1$.

显然，只需要考虑$f(-Ina)>2Ina+1$即可

代入之后即证：$a^2>Ina+\frac{1}{2}$

由$a>Ina+1$易证成立

T20

设等差数列{$a_n$ }的公差为d,且 d >1．令$b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记$S_n$，$T_n$分别为数列{$a_n$}，{$b_n$}的前n项和。

(1）若$3a_2=3a_1,+a_3$,$S_3+T_3=21$，求｛$a_n$｝的通项公式；

易知，$a_1=d$，代入即可得到：

$a_n=3n$

(2）若 $bn$\mathrm{为}\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列},\mathrm{且}$S{99}-T_{99}=99$ ，求d

$b_n=\frac{n^2+n}{a_n}=\frac{n(n+1)}{a_n}$

设$a_n=(n-1)d+a_1=d(n-1+\frac{a_1}{d})$

显然，如果$b_n$为等差数列的话，必须满足：

$n-1+\frac{a_1}{d}=n$或$n-1+\frac{a_1}{d}=n+1$

这样我们便可以得到：

$a_1=d$ 或$a_1=2d$

代入给的求和式子，又$d>1$，因此得到$d=\frac{51}{50}$

T21

甲乙两人投球，甲投进概率为0.6，乙为0.8，第一次是谁投的概率都为0.5，投进了，继续投，没投进换人

(1）问第二次是甲投球的概率；

$$P=0.5\ast 0.6+0.5\ast (1-0.8)=0.4$$

(2）第$i$次甲投球的概率是 $P_i$，求 $P_i$ ;

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P_i=\{\begin{array}{r}\frac{1}{2}i=1\\ 0.6\ast P_{i-1}+0.2\ast (1-P_{i-1})i=2,3,...\end{array}\end{array}$$

比较正常的概率递推，和21年一样

(3）随机事件 $Y$ 为甲投球的次数， $Y=1,2,\dots n$，求$E(y)$

设$X$为事件甲投球，$X=1$表示甲投中，$X=0$表示甲未投中，很显然，$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i$

由基础的概率论知识不难得到：

$$E(y)=E(\sum _{i=1}^n{X}_i)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\sum _{i=1}^n{P}_i$$

T22

在直角坐标系$XOY$中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点（0，$\frac{1}{2}$）的距离，记动点 P 的轨迹为 W .

(1）求 W 的方程；

$y=x^2+\frac{1}{4}$

(2）已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于$3\sqrt{3}$.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{r}y=k(x-x_1)+x_1^2+\frac{1}{4}\\ y=x^2+\frac{1}{4}\end{array}\end{array}$$

得到相应的坐标，记作（$x_2,y_2$），

同理，由两条直线垂直可得，另一条直线与抛物线联立可以得到（$x_3,y_3$）.

由两点之间坐标公式可以得到，要证的表达式即为：

$\sqrt{(x_3-x_1{)}^2+(x_3^2-x_1^2{)}^2}+\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(x_2^2-x_1^2{)}^2}>\frac{3}{2}\sqrt{3}$

化简，得到：

$$\begin{gathered} \sqrt{(x_3-x_1{)}^2+(x_3^2-x_1^2{)}^2}+\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(x_2^2-x_1^2{)}^2}= \\ \sqrt{k^2+1}|(k-2x_1)+\frac{1}{k}(2x_1+\frac{1}{k})| \end{gathered}$$

由于我们知道，$k$要么在（$-1$，$1$）之间，要么在此之外，不妨我们就取$k$在（$-1$，$1$），这样，对于上面的式子进一步化简为：

$$\sqrt{k^2+1}|(k-2x_1)+\frac{1}{k}(2x_1+\frac{1}{k})|>\sqrt{k^2+1}|(k-2x_1)+(2x_1+\frac{1}{k})|$$

分析绝对值，显然可以得出

$$\sqrt{k^2+1}|(k-2x_1)+(2x_1+\frac{1}{k})|>\sqrt{k^2+1}(k+\frac{1}{k})$$

对于函数：

$$f(k)=\sqrt{k^2+1}(k+\frac{1}{k})$$

求导计算可以得出，

$f(k{)}_{min}>\frac{3}{2}\sqrt{3}$

得证。